【高数Ⅲ微分①】自然対数の底の定義がようやく理解できました！！

　初めまして！！

　mathloveです！

　私は数学が好きで、社会人になってからも色々と独学で学習しておる者です。

　今日は自然対数の底について、ようやく納得のいく説明が書かれた書籍を読めたので書きたいと思います。

　高校の数学の教科書には、次のように書いてありました。

　対数関数 $y=\log_ax$ の導関数について考える。

$\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{\log_a(x+h)-\log_ax}h=\lim_{h\to0}\frac{1}h\log_a(1+\frac{h}x)}$

ここで、 $k=\frac{h}x$ とおくと、 ${h\to0}$ のとき、 ${k\to0}$ だから、

　 $\require{color}\displaystyle{\lim_{k\to0}\frac{1}{xk}\log_a(1+k)=\lim_{k\to0}\frac{1}{x}\textcolor{red}{\log_a(1+k)^\frac{1}k}}$

　上の赤字の部分の極限値をネイピア数 $e$ と定義する。

　このように、高校の教科書では、対数関数の導関数を求めるという必要性に迫られてネイピア数を定義しました。

　しかし、今読んでいる２冊「オイラーの贈り物（吉田武著）」や「スバラシク実力がつく！微分積分キャンパス・ゼミ（馬場敬之著）」は、このように定義しています。

　指数関数　 $y=2^x$ 、 $y=3^x$ の点(0,1)での接線の傾きを考える。

$y=2^x$ では接線の傾きは１より小さく、 $y=3^x$ では接線の傾きは１より大きい。このことから、

　接線の傾きが１ ⇒ 指数関数の底は２と３の間の数

とわかる。

　そのような底を $a$ とすると、点(0,1)における接線の傾きは微分係数の定義から、

$\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}h}$ となり、この値は極限値は１だから

$\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}h=1}$

この式が成り立つような $a$ を、ネイピア数 $e$ と定義する。

　つまり、点(0,1)における接線の傾きが１になるような指数関数の底としてネイピア数を定義しています。私は、この定義がとてもしっくりきました！！

　他にもいくつか参考書を見ていると、

$\displaystyle{\lim_{k\to0}{(1+k)^\frac{1}k}=e}$ と定義する

と、唐突に書いてあるものもありました。まあ、こういう参考書は理解が進んでいる人が読むものですね。

　まとめ

　ネイピア数 $e$ の定義は高校の教科書のように１つではないから、自分で納得できる定義を探すことが大切！！

上で紹介した参考書です。

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