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【高校数Ⅲ極限①】双曲線関数と三角関数の極限が似すぎている件

　こんばんは。

　今日も数学検定１級合格に向けて勉強していて、双曲線関数と三角関数の似ている点を見つけたので、まとめます。

　双曲線関数は、以下の関数です。

双曲線関数

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

　まずは極限です。

(1) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

(2) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sinh x}{x}=1$

(3) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$

(4) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tanh x}{x}=1$

(5) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

(6) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cosh x}{x^2}=-\frac{1}{2}$

　このように並べると、２つの関数がよく似ているのがわかります。　

　

(6)の証明

　 $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cosh x}{x^2}$

$\displaystyle=\lim_{x\to0}\frac{(1-\cosh x)(1+cosh x)}{x^2(1+cosh x)}$

$\displaystyle=\lim_{x\to0}\frac{1-\cosh^2 x}{x^2(1+cosh x)}$

$\displaystyle=\lim_{x\to0}\frac{-\sinh^2 x}{x^2(1+cosh x)}$

$\displaystyle=\lim_{x\to0}\frac{-\sinh^2 x}{x^2}×\frac{1}{1+\cosh x}$

$\displaystyle=-1×\frac{1}{2}$

$\displaystyle=-\frac{1}{2}$

◆まとめ◆

　双曲線関数と三角関数は、【見た目】は違うが、極限の【性質】が似ている！！