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【大学数学微分①】三角関数と双曲線関数の逆関数の微分の類似性

　三角関数と双曲線関数の極限の類似性については、以前この記事で紹介しました。

 

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　今回は、逆関数にも類似性が見られたのでまとめます。

 

　まず三角関数の逆関数の微分は、次の通りです。

 

逆三角関数の微分

　(1)   \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

　(2)   \frac{d}{dx}(\cos^{-1}x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

　(3)   \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x)=-\frac{1}{1+x^2}

 

　(3)の証明

　y=\tan^{-1}xとすると、x=\tan y・・・①

　①の両辺をxで微分すると、

   　1=\frac{1}{\cos^2 y}・\frac{dy}{dx}

　\frac{dy}{dx}=\cos^2 y

　ここで、1+\tan^2 y=\frac{1}{\cos^2 y}の関係から、

　\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+\tan^2 y}

　  　=\frac{1}{1+x^2}　（証明終わり）

 

　次に双曲線関数の逆関数の微分は、次の通りです。

逆双曲線関数の微分

　(Ⅰ)   \frac{d}{dx}(\sinh^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} 

　(Ⅱ)   \frac{d}{dx}(\cosh^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}

　(Ⅲ)   \frac{d}{dx}(\tanh^{-1}x)=-\frac{1}{1-x^2}

 

 

　(Ⅱ)の証明

　    \frac{d}{dx}(\cosh^{-1}x)

   =\frac{d}{dx}{\log(x+\sqrt{x^2-1})}

   =(1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}})×\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}

   =\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}×\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}

   =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}　（証明終わり）

 

　私としては、\sinと\tanはかなり似ていると感じました。