【高校Ⅲ積分①】この問題には、こんな意図があったのかΣ(・□・;)
こんにちは!
今日は数学検定1級合格に向けて微分積分の勉強をしていたところ、新たな気づきがありましたので書かせていただきます。もしよければ、最後まで読んでいただけると幸いです<(_ _)>
さて、まずはこの有名な入試問題をご存じでしょうか?
この問題も背景に双曲線関数の逆関数があると思えば、次のように解答できます。
双曲線関数の逆関数の知識があると、すんなり答えまで行きつけますし、の原始関数は、の原始関数を軸方向にだけ平行移動したものとみてもよいのかなと思いました。
【高数Ⅲ微分①】自然対数の底の定義がようやく理解できました!!
初めまして!!
mathloveです!
私は数学が好きで、社会人になってからも色々と独学で学習しておる者です。
今日は自然対数の底について、ようやく納得のいく説明が書かれた書籍を読めたので書きたいと思います。
高校の数学の教科書には、次のように書いてありました。
このように、高校の教科書では、対数関数の導関数を求めるという必要性に迫られてネイピア数を定義しました。
しかし、今読んでいる2冊「オイラーの贈り物(吉田武著)」や「スバラシク実力がつく!微分積分キャンパス・ゼミ(馬場敬之著)」は、このように定義しています。
指数関数 、の点(0,1)での接線の傾きを考える。
では接線の傾きは1より小さく、では接線の傾きは1より大きい。このことから、
接線の傾きが1 ⇒ 指数関数の底は2と3の間の数
とわかる。
そのような底をとすると、点(0,1)における接線の傾きは微分係数の定義から、
となり、この値は極限値は1だから
この式が成り立つようなを、ネイピア数と定義する。
つまり、点(0,1)における接線の傾きが1になるような指数関数の底としてネイピア数を定義しています。私は、この定義がとてもしっくりきました!!
他にもいくつか参考書を見ていると、
と定義する
と、唐突に書いてあるものもありました。まあ、こういう参考書は理解が進んでいる人が読むものですね。
まとめ
ネイピア数の定義は高校の教科書のように1つではないから、自分で納得できる定義を探すことが大切!!
上で紹介した参考書です。
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